已知{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S2=3，S4=15．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}是等差数列，且b3=a3，b5=a5，试求数列{bn}的前n项和Mn．

Question

已知{a_n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且S₂=3，S₄=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，且b₃=a₃，b₅=a₅，试求数列{b_n}的前n项和M_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意分析知q≠1．
由S₂=3，S₄=15得：

(a1(1-q2))/(1-q)=3…(1)

(a1(1-q4))/(1-q)=15…(2)

，
((2))/((1))得1+q²=5，得q²=4，由题意q>0，所以q=2．
将q=2代入（1）式得a₁=1，
所以an=a1qn-1=2n-1．
（Ⅱ）设数列{b_n}的公差为d，
∵b3=a3=22=4，b5=a5=24=16，
又{b_n}为等差数列，∴b₅=b₃+（5-3）d，
即16=4+2d，解得d=6，
又由b₃=b₁+（3-1）d，得b₁=-8
∴Mn=nb1+(n(n-1))/(2)d=-8n+(n(n-1))/(2)×6
=3n²-11n．