已知数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，它的前n项和Sn，满足Sn=16（an+1）（an+2），并且a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列（an}的通项公式．（2）设bn=（-1）n+1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和

Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，对任意n∈N^*，它的前n项和S_n，满足S_n=(1)/(6)（a_n+1）（a_n+2），并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列（a_n}的通项公式．
（2）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

（1）∵S_n=(1)/(6)（a_n+1）（a_n+2），
∴当n≥2时，S_n-1=(1)/(6)（a_n-1+1）（a_n-1+2），
两式相减得：6a_n=（an2+3a_n）-（an-12+3a_n-1），
又∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=3，
又∵S₁=(1)/(6)（a₁+1）（a₁+2），
∴a12-3a₁+2=0，即a₁=1或a₁=2，
又∵a₂，a₄，a₉成等比数列，
∴(a1+9)2=（a₁+3）（a₁+24），
解得：a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵a_n=3n-2，
∴a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），
当n为偶数时，T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_n-1a_n-a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_n（a_n-1-a_n+1）
=-6（a₂+a₄+…+a_n）
=-6×((n)/(2)(4+3n-2))/(2)
=-(9n2+6n)/(2)；
当n为奇数时，T_n=T_n-1+a_na_n+1
=-(9(n-1)2+6(n-1))/(2)+（3n-2）（3n+1）
=(9)/(2)n²+3n-(7)/(2)；
综上所述，T_n=

-(9n2+6n)/(2)，	n为偶数
(9n2+6n-7)/(2)，	n为奇数

．