已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=12，7a2=2S3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2（1-Sn+1），若1b1b3+1b3b5+…+1b2n-1b2n+1=521，求n．

Question

已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=(1)/(2)，7a2=2S3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂（1-S_n+1），若(1)/(b1b3)+(1)/(b3b5)+…+(1)/(b2n-1b2n+1)=(5)/(21)，求n．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵7a₂=2S₃，∴5a₂=2a₁+2a₃，…（2分）
则2q²-5q+2=0，解得q=(1)/(2)或q=2（舍去），…（4分）
故an=(1)/(2)•((1)/(2))n-1=((1)/(2))n…（6分）
（2）∵Sn+1=((1)/(2)(1-(1)/(2n+1)))/(1-(1)/(2))=1-(1)/(2n+1)，…（8分）
∴b_n=log₂（1-S_n+1）=-n-1，…（9分）
∴(1)/(b2n-1b2n+1)=(1)/((-2n)(-2n-2))=(1)/(4)((1)/(n)-(1)/(n+1))，…（10分）(1)/(b1b3)+(1)/(b3b5)+…+(1)/(b2n-1b2n+1)=(1)/(4)[(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+…+((1)/(n)-(1)/(n+1))]=(1)/(4)(1-(1)/(n+1))，…（11分）
由(1)/(4)(1-(1)/(n+1))=(5)/(21)，得n=20…（12分）