已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},在U中任取四个元素组成的集合记为A={a1,a2,a3,a4},余下的四个元素组成的集合记为CuA={b1,b2,b3,b4},若a1+a2+a3+a4

Question

已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},在U中任取四个元素组成的集合记为A={a1,a2,a3,a4},余下的四个元素组成的集合记为CuA={b1,b2,b3,b4},若a1+a2+a3+a4

Answer 1

我们可以这样想：八个不同的元素,从中选四个,共有70种取法!
将这八个数加起来,其和为36!这样如果两个集合相等则每个集合的元素和为18,这样的集合有多少呢?我们分别把1和8,2和7,3和6,4和5组合,因为他们的和为9（18的一半）,所以我们只要在这四组种取两组,即可满足两个集合相等的条件,这样的取法有6种；另外,{2,3,5,8,}和{1,4,6,7}也可满足两个集合相等,所以,使两个集合相等的取法一共6+2=8种；
这样,共70种取法,其中8种使两集合相等,那么剩下70-8=62种,这62种中包含两种情况,且“对称”,也就是说,使集合A大的数量与使集合A小的数量相等!（举个例子说：若取法{1,2,3,4}作为A,则满足条件；对应的若取法{1,2,3,4}作为CuA则不满足条件,此时A对应取法{5,6,7,8}）.
综上,满足题设的取法一共有62/2=31种!
（有什么不明白的地方,还可以讨论……）