已知数列bn=1/n^2,sn=1/b1+1/b2+1/b3+...1/bn求证sn>6n/(n+1)(2n+1)这个问题提出很长时间了,一直没有得到满意解答,上面题的条件是n>=2,bn=1/n^2sn=b1+b2+b3+...+bn求证sn>6n/(n+1)(2n+1)

Question

已知数列bn=1/n^2,sn=1/b1+1/b2+1/b3+...1/bn
求证sn>6n/(n+1)(2n+1)
这个问题提出很长时间了,一直没有得到满意解答,
上面题的条件是n>=2,bn=1/n^2 sn=b1+b2+b3+...+bn
求证sn>6n/(n+1)(2n+1)

Answer 1

由柯西不等式得：
n²=(1*(1/1)+2*(1/2)+……+n*(1/n))^2
6k/(k+1)(2k+1)+1/(k+1)²
>6k/(k+1)(2k+1)+1/(k+1)(k+2) 将第二项分母放大,分式变小
=[6k(k+2)+(2k+1)]/[(k+1)(k+2)(2k+1)] 通分
=(6k²+14k+1)/[(k+1)(k+2)(2k+1)]
>[6k²+14k+1]/[(k+1)(k+2)(2k+3)] 将分母中最后一项放大
=[(6k²+12k+6+2k-5)/(k+1)]/[(k+2)(2k+3)] k>=3所以2k-5>0
>[(6k²+12k+6)/(k+1)]/[(k+2)(2k+3)] 分子减小
=6(k+1)/(k+2)(2k+3) 因式分解后约分
=S(k+1)
所以n=k+1时也成立