设a1=（1,2,-1）,a2=（0,-1,-3）,a3=（1,-1,0）,B1=(2,1,5),B2=(-2,3,1)B3=(1,3,2)证明（a1,a2,a3）和（B1,B2,B2)都是R^3的基,求前后者的过渡矩阵.

Question

设a1=（1,2,-1）,a2=（0,-1,-3）,a3=（1,-1,0）,B1=(2,1,5),B2=(-2,3,1)B3=(1,3,2)
证明（a1,a2,a3）和（B1,B2,B2)都是R^3的基,求前后者的过渡矩阵.

Answer 1

因为 |a1,a2,a3| = -10 != 0
所以 a1,a2,a3 线性无关,故为R^3的基.
同理由 |b1,b2,b3| = -34 != 0,b1,b2,b3也是R^3的基.
(a1,a2,a3,b1,b2,b3) =
1 0 1 2 -2 1
2 -1 -1 1 3 3
-1 -3 0 5 1 2
r2-2r1,r3-r1
1 0 1 2 -2 1
0 -1 -3 -3 7 1
0 -3 1 7 -1 3
r2*(-1),r3+3r2
1 0 1 2 -2 1
0 1 3 3 -7 -1
0 0 10 16 -22 0
r3*(1/10),r1-r3,r2-3r3
1 0 0 2/5 1/5 1
0 1 0 -9/5 -2/5 -1
0 0 1 8/5 -11/5 0
所以,a1,a2,a3到b1,b2,b3的过渡矩阵为
2/5 1/5 1
-9/5 -2/5 -1
8/5 -11/5 0