Ax=b的两个解之差是Ax=0的解,是不是要求,这两个解线性无关?Ax=b的解,b1,b2,若b1和b2线性相关,b1-b2不是Ax=0的解?

Question

Ax=b的两个解之差是Ax=0的解,是不是要求,这两个解线性无关?
Ax=b的解,b1,b2,若b1和b2线性相关,b1-b2不是Ax=0的解?

Answer 1

假设b1≠b2,当b1和b2都是Ax=b的解时,b1和b2必然是线性无关的,二者不会线性相关.
证明：假设b1和b2线性相关,那么令b1=kb2
∵b1是Ax=b的解
∴Ab1=b
∴A(kb2)=b,即k(Ab2)=b
∵b2也是Ax=b的解,即Ab2=b
∴kb=b
∴k=1
∴b1=b2,这与假设b1≠b2矛盾,∴b1和b2线性无关.
另外,当b1和b2都是Ax=b的解时,b1-b2必然是齐次方程Ax=0的解.
证明：∵b1和b2都是Ax=b的解
∴Ab1=b,Ab2=b,两式相减,
Ab1-Ab2=b-b,即A(b1-b2)=0
∴b1-b2是齐次方程Ax=0的解.