a1b1a2b2均为实数.求证|根号(a1^2+a2^2)-根号(b1^2+b2^2)|≤|a1-b1|+|a2-b2|

Question

a1 b1 a2 b2均为实数.求证|根号(a1^2+a2^2)-根号(b1^2+b2^2)|≤|a1-b1|+|a2-b2|

Answer 1

用几何意义会简单一点,不需要复杂的运算.
记点A的坐标为A(a1,a2),点B的坐标为B(b1,b2),那么 根号(a1^2+a2^2)就是A与原点O的距离；同理 根号(b1^2+b2^2) 就是B与原点O的距离.因此
|根号(a1^2+a2^2)-根号(b1^2+b2^2)|
=|OA-OB| (根据三角形两边之和大于第三边,这里直接用OA表示线段OA的长度)
=AB.(可以设想一个点C的坐标为C(a1,b2),那么|a1-b1|就是BC的长度,|a2-b2|就是AC的长度,由AC+BC>=AB即知上述不等式成立)
这样,不等号左边