如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，且A1A=4．梯形ABCD的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，AB=2．平面A1DCE与B1B交于点E．（1）证明：EC∥A1D；（2）求点C到平面ABB1A1的距离．

Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，且A₁A=4．梯形ABCD的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，AB=2．平面A₁DCE与B₁B交于点E．
（1）证明：EC∥A₁D；
（2）求点C到平面ABB₁A₁的距离．

Answer 1

（本小题满分14分）
（1）证明：因为BE∥AA₁，AA₁⊂平面AA₁D，BE⊄平面AA₁D，所以BE∥平面AA₁D．（1分）
因为BC∥AD，AD⊂平面AA₁D，BC⊄平面AA₁D，所以BC∥平面AA₁D．（2分）
又BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA₁．（4分）
又平面A₁DCE∩平面BCE=EC，平面A₁DCE∩平面A₁AD=A₁D，
所以EC∥A₁D．（6分）
（2）解法一：因为S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，
所以S△ABC＝(1)/(2)S△ACD＝(1)/(3)S梯形ABCD＝2．（9分）
因为A₁A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以A₁A⊥AB．
所以S△A1AB＝(1)/(2)A1A•AB＝4．（10分）
设点C到平面ABB₁A₁的距离为h，因为VC−A1AB＝VA1−ABC，（12分）
所以(1)/(3)h•S△A1AB＝(1)/(3)A1A•S△ABC，（13分）
所以h=2，即点C到平面ABB₁A₁的距离为2．（14分）
解法二：如图，在平面ABC中，作CF⊥AB于F．（7分）
因为A₁A⊥底面ABCD，CF⊂底面ABCD，
所以CF⊥A₁A．（8分）
又A₁A∩AB=A，所以CF⊥面A₁ABB₁．（9分）
即线段CF的长为点C到平面ABB₁A₁的距离．
因为S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，
所以S△ABC＝(1)/(2)S△ACD＝(1)/(3)S梯形ABCD＝2（12分）
又S△ABC＝(1)/(2)AB•CF，（13分）
所以CF=2，即点C到平面ABB₁A₁的距离为2．（14分）