Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．

Question

S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₇=28，记b_n=[lga_n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b₁，b₁₁，b₁₀₁；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前1000项和．

Answer 1

（Ⅰ）S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₇=28，7a₄=28．
可得a₄=4，则公差d=1．
a_n=n，
b_n=[lgn]，则b₁=[lg1]=0，
b₁₁=[lg11]=1，
b₁₀₁=[lg101]=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b₁=b₂=b₃=…=b₉=0，b₁₀=b₁₁=b₁₂=…=b₉₉=1．
b₁₀₀=b₁₀₁=b₁₀₂=b₁₀₃=…=b₉₉₉=2，b_10，00=3．
数列{b_n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．