（2014•湖南）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值

Question

（2014•湖南）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．
（Ⅰ）证明：O₁O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C₁-OB₁-D的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD为菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O为BD的中点，
同理O₁也是B₁D₁的中点，
又∵四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形，
∴O₁O∥CC₁∥BB₁且CC₁⊥AC，BB₁⊥BD，
∴OO₁⊥AC，OO₁⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，
∴O₁O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O₁O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO₁两两垂直，

如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O-xyz．
设AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD=√(3)，
则O（0，0，0），B₁（√(3)，0，2），C₁（0，1，2）
易知，

n1

=（0，1，0）是平面BDD₁B₁的一个法向量，
设

n2

=（x，y，z）是平面OB₁C₁的一个法向量，则√(n2•作业帮用户2016-11-24为您推荐：问题解析（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=√(3)，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．名师点评本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．考点点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．广告扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)