如图所示，在半径为R的圆周上的六个等分点分别为C、D、E、F、G、H，其中以D、E、G、H为圆心、R/4为半径的圆形区域有垂直纸面向里磁感应强度为B0的匀强磁场，在圆周两侧关于O对称的位置

Question

如图所示，在半径为R的圆周上的六个等分点分别为C、D、E、F、G、H，其中以D、E、G、H为圆心、R/4为半径的圆形区域有垂直纸面向里磁感应强度为B₀的匀强磁场，在圆周两侧关于O对称的位置有两单边界匀强磁场．其边界与HG所在直线垂直．一个质量为m电荷量为+q的离子（不计重力），由A点（A为HG的中点）沿AH飞进小圆形磁场，之后沿HC方向飞出．离子在几个磁场中飞进飞出做周期性运动，经历一个周期再次沿AH方向通过A点．

（1）求离子速度v₀的大小？
（2）为使离子在两侧磁场区做圆周运动的半径为√(3)R/2，磁感应强度B₁的大小？两磁场边界的距离d为多少？
（3）在（2）问的条件下，离子完成一次周期性运动的时间T是多少？

Answer 1

根据题意，粒子运动的轨迹（部分）如图：

（1）在B₀ 的磁场区域内，粒子的偏转角为60°，其偏转半径R1 为：R1＝((R)/(4))/(tan300)＝(√(3)R)/(4)
该区域内，洛伦兹力提供向心力：qvoB0＝(mv20)/(R1)
故：v0＝(qB0R1)/(m)＝(√(3)qB0R)/(4m)
（2）在B₁ 的磁场区域内，粒子的偏转角为300⁰，如图，洛伦兹力提供向心力：qvoB1＝(mv20)/(R2)
故：B1＝(B0)/(2)
由图可得边界到C点的距离：d′＝R2sin300•sin300＝(√(3)R)/(8)
两磁场边界的距离d为：d＝2R+2d′＝(2+(√(3))/(2))R
（3）粒子在B₀ 的磁场区域内的周期：T1＝(2πm)/(qB0)
粒子在B₀ 的磁场区域内的时间：t1＝(θ)/(2π)T1＝(πm)/(3)
粒子在B₁ 的磁场区域内的周期：T2＝(2πm)/(qB1)＝(4πm)/(3qB0)
粒子在B₁ 的磁场区域内的时间：t2＝(θ′)/(2π)T2＝(10πm)/(3qB0)
粒子在两个磁场之间做匀速直线运动，距离：L＝(3)/(4)R+R2Sin300＝(3+√(3))/(4)R
粒子在两个磁场之间的运动时间：t3＝(L)/(v0)＝((1+√(3))m)/(qB0)
D到E和F到G之间的没有磁场的区域时间均为：t4＝(R)/(2v0)＝(√(3)m)/(3qB0)
粒子运动的总时间：t总＝4t1+2t2+4t3+2t4＝(24πm+12m+14√(3)m)/(3qB0)
答：（1）粒子的速度为：(√(3)qB0R)/(4m)；（2）B1＝(B0)/(2)；两磁场边界的距离d为：(2+(√(3))/(2))R；（3）粒子运动的总时间：(24πm+12m+14√(3)m)/(3qB0)