高中数学给定椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0),称圆心在原点O,半径为√（a²+b²）,的圆是椭圆C的伴随圆,若椭圆C的一个焦点为F(√2,0),其短轴上的一个端点到F的距离为√3.过伴随

Question

高中数学
给定椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0),称圆心在原点O,半径为√（a²+b²）,的圆是椭圆C的伴随圆,若椭圆C的一个焦点为F(√2,0),其短轴上的一个端点到F的距离为√3.
过伴随圆上一动点Q作直线l1,l2,使l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线l1,l2的斜率之积,是否为定值.
关键说下直线l1，l2的斜率之积为定值怎么证，说方法不用过程

Answer 1

F(√2,0) a=√(b^2+c^2)=√3
b=1
x^2/3+y^2=1
伴随圆x^2+y^2=4
Q(x0,y0)
l1:y=k1(x-x0)+y0
l2:y=k2(x-x0)+y0
x^2/3+y^2=1
x^2/3+(k1(x-x0)+y0)^2=1
(k1^2+1/3)x^2+k1^2(x-x0)^2=2k1y0(x-x0)+y0^2-1=0
(1/3+k1^2)x^2+2(k1y0-k1^2x0)x+(k1^2x0^2-2k1x0y0+y0^2-1=0
判别式
[2(k1y0-k1^2x0)]^2-4*(1/3+k1^2)*(k1^2x0^2-2k1x0y0+y0^2-1)=0
(1/3)k1^2x0^2+(-2/3)k1x0y0+(1/3)(y0^2-1)-k1^2=0
[(1/3)x0^2-1]k1^2 +(-2/3)k1x0y0+(1/3)(y0^2-1)=0
同理
[(1/3)x0^2-1]k2^2+(-2/3)k2x0y0+(1/3)(y0^2-1)=0
k1、k2是方程[(1/3)x0^2-1]x^2+(-2/3)x*x0y0+(1/3)(y0^2-1)=0的两个根
k1k2=(1/3)(y0^2-1)/[(1/3)x0^2-1]
=(1/3)(3-x0^2)/[(1/3)x0^2-1]
=(-1)
因此l1、l2斜率之积为定值(-1)