（1）求证：Cn-1m+Cn-1m-2+2Cn-1m-1=Cn+1m；（2）设（1-2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004，其中，a0，a1，a2，…，a2004是常数，求：（a0+a2+a4+…+a2004）2-（a1+a3+a5+…+a2003）2的值．

Question

（1）求证：C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=C_n+1^m；
（2）设（1-√(2)x）²⁰⁰⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₀₄x²⁰⁰⁴，其中，a₀，a₁，a₂，…，a₂₀₀₄是常数，求：（a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₄）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₃）²的值．

Answer 1

（1）证明：C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=（C_n-1^m+C_n-1^m-1）+（C_n-1^m-1+C_n-1^m-2）=C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m
所以C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=C_n+1^m；
（2）令x=1，则有(1−√(2))2004＝a0+a1+a2+…+a2004，
令x=-1则有(1+√(2))2004＝a0−a 1+a2−a3+…+(−1)2004a2004，

(a0+a2+…+a2004)2−(a1+a3+…+a2003)2

＝(a0+a1+a2+…+a2004)(a0−a1+a2−…+a2004)

＝(1−√(2))2004(1+√(2))2004＝[(1−√(2))(1+√(2))]2004＝(−1)2004＝1

所以：（a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₀₄）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₃）²=1．