Cn+2Cn+3Cn+……＋…nCn?半小时内··过程可以省略点··不过要说明怎么做~Cn1+2Cn2+3Cn3+……＋…nCnn?

Question

Cn+2Cn+3Cn+……＋…nCn?
半小时内· ·过程可以省略点··不过要说明怎么做~
Cn1+2Cn2+3Cn3+……＋…nCnn?

Answer 1

令Sn=1*nC1+2*nC2+3*nC3+……+n*nCn
Sn=1*nC1+2*nC2+3*nC3+……+n*nCn……①
因为nCm=nC(n-m)
Sn=1*nC(n-1)+2*nC(n-2)+3*nC(n-3)+……+(n-1)*nC1+n*nC0……②
①+② 2Sn=n*(nC1+nC2+……+nC(n-1))+n*nCn+n*nC0
因为nC0+nC1+nC2+……+nCn=(1+1)^n=2^n
所以 2Sn=n*(nC0+nC1+nC2+……+nC(n-1)+nCn-nC0-nCn)+n*nCn+n*nC0
2Sn=n*(2^n-2)+n+n
Sn=n*2^(n-1)