已知1-x+x2-x3+…+（-1）nxn=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2=．（用n表示）

Question

已知1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_n（x+1）ⁿ，且n为不小于2的自然数，则a₂=___．（用n表示）

Answer 1

∵x≠-1，1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ=(1-(-x)n+1)/(1+x)=(1-[1-(x+1)]n+1)/(1+x)，1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_n（x+1）ⁿ，
∴1-[1-（x+1）]ⁿ⁺¹=a₀（1+x）+a₁（1+x）²+a2(1+x)3+…+an(1+x)n+1，且n≥2．
∴-

∁

3 n+1

[-(1+x)]3=

∁

3 n+1

（1+x）³=a2(1+x)3，
∴a₂=

∁

3 n+1

．
故答案为：C

3

n+1

．