设函数f（x）=x2-ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（-π2，π2）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2-a0x+b0，求函数|f（sinx）-f0（sinx）|在[-π2，π2]上的最大值D；

Question

设函数f（x）=x²-ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（-(π)/(2)，(π)/(2)）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f₀（x）=x²-a₀x+b₀，求函数|f（sinx）-f₀（sinx）|在[-(π)/(2)，(π)/(2)]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a₀=b₀=0，求z=b-(a2)/(4)满足条件D≤1时的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（-(π)/(2)，(π)/(2)）递增，
即有f（t）=t²-at+b（-1<t<1），f′（t）=2t-a，
①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；
当a≤-2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．
即有a≥2或a≤-2时，不存在极值．
②当-2<a<2时，-1<t<(a)/(2)，f′（t）<0，f（sinx）递减；
(a)/(2)<t<1，f′（t）>0，f（sinx）递增．
f（sinx）有极小值f（(a)/(2)）=b-(a2)/(4)；
（Ⅱ）-(π)/(2)≤x≤(π)/(2)时，|f（sinx）-f₀（sinx）|=|（a-a₀）sinx+b-b₀|≤|a-a₀|+|b-b₀|
当（a-a₀）（b-b₀）≥0时，取x=(π)/(2)，等号成立；
当（a-a₀）（b-b₀）≤0时，取x=-(π)/(2)，等号成立．
由此可知，|f（sinx）-f₀（sinx）|在[-(π)/(2)，(π)/(2)]上的最大值为D=|a-a₀|+|b-b₀|．
（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a²≤1，-1≤b≤1，从而z=b-(a2)/(4)≤1
取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z=b-(a2)/(4)=1．
由此可知，z=b-(a2)/(4)满足条件D≤1的最大值为1．