（2012•江苏一模）设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得an+k2=an•an+2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；（2）若

Question

（2012•江苏一模）设数列{a_n}的各项均为正数．若对任意的n∈N^*，存在k∈N^*，使得a_n+k²=a_n•a_n+2k成立，则称数列{a_n}为“J_k型”数列．
（1）若数列{a_n}是“J₂型”数列，且a₂=8，a₈=1，求a_2n；
（2）若数列{a_n}既是“J₃型”数列，又是“J₄型”数列，证明：数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是“J₂”型数列，
∴

a

2 n+2

=a_n•a_n+4
∴数列{a_n}的奇数项、偶数项分别组成等比数列
设偶数项组成的等比数列的公比为q，
∵a₂=8，a₈=1，∴q3＝(1)/(8)，∴q=(1)/(2)
∴a_2n=8×((1)/(2))n−1=2^4-n；
（2）由题设知，当n≥8时，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比数列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比数列．
从而当n≥8时，a_n²=a_n-3a_n+3=a_n-6a_n+6，（*）且a_n-6a_n+6=a_n-2a_n+2．
所以当n≥8时，a_n²=a_n-2a_n+2，即(an+2)/(an)＝(an)/(an−2)
于是当n≥9时，a_n-3，a_n-1，a_n+1，a_n+3成等比数列，从而a_n-3a_n+3=a_n-1a_n+1，故由（*）式知a_n²=a_n-1a_n+1，
即(an+1)/(an)＝(an)/(an−1)．
当n≥9时，设q＝(an)/(an−1)，当2≤m≤9时，m+6≥8，从而由（*）式知a_m+6²=a_ma_m+12，
故a_m+7²=a_m+1a_m+13，从而(am+72)/(am+62)＝(am+1am+13)/(amam+12)，
于是(am+1)/(am)＝(q2)/(q)＝q．
因此(an+1)/(an)＝q对任意n≥2都成立．
因为a42＝a1a7，所以

作业帮用户 2017-11-09