已知数列{an}满足递推公式an=2(an-1)+1,(n>=2),其中a4=15求数列{an}的前n项和Sn.

Question

已知数列{an}满足递推公式an=2(an-1)+1,(n>=2),其中a4=15
求数列{an}的前n项和Sn.

Answer 1

an=2a(n-1)+1
an+1=2a(n-1)+2=2[a(n-1)+1]
(an+1)/[a(n-1)+1]=2
所以an+1是等比数列,q=2
所以 an+1=(a1+1)*q^(n-1)
a4+1=(a1+1)*q^(4-1)
16=(a1+1)*8
a1+1=2
所以
an+1=(a1+1)*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n
an=-1+2^n
Sn=-1+2^1-1+2^2+……+(-1+2^n)
=-1*n+(2^1+……+2^n)
=-n+2*(1-2^n)/(1-2)
=-n+2^(n+1)-2