设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a7−1)3+2012(a7−1)＝1，(a2006−1)3+2012(a2006−1)＝−1，则下列结论正确的是（）A.S2012=2012，a2012＜a7B.S2012=2012，a2012＞a7C.S2012=-2012，a2012＜a7D.S2012=-2012，a2

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知(a7−1)3+2012(a7−1)＝1，(a2006−1)3+2012(a2006−1)＝−1，则下列结论正确的是（　　）
A. S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₂＜a₇
B. S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₂＞a₇
C. S₂₀₁₂=-2012，a₂₀₁₂＜a₇
D. S₂₀₁₂=-2012，a₂₀₁₂＞a₇

Answer 1

由(a7−1)3+2012(a7−1)＝1，(a2006−1)3+2012(a2006−1)＝−1，
可得a₇-1＞0，-1＜a₂₀₀₆-1＜0，即a₇＞1，0＜a₂₀₀₆＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
∴a₂₀₁₂＜a₇，
把已知的两式相加可得（a₇-1）³+2012（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）³+2012（a₂₀₀₆-1）=0
整理可得（a₇+a₂₀₀₆-2）•[（a₇-1）²+（a₂₀₀₆-1）²-（a₇-1）（a₂₀₀₆-1）+2012]=0
结合上面的判断可知（a₇-1）²+（a₂₀₀₆-1）²-（a₇-1）（a₂₀₀₆-1）+2012＞0
所以a₇+a₂₀₀₆=2，而s₂₀₁₂=(2012)/(2)（a₁+a₂₀₁₂）=(2012)/(2) （a₇+a₂₀₀₆）=2012
故选A．