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已知{an}是等比数列,a2=2,a5=1/4,则a1*a2+a3*a4+……+a(n+1)*an
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已知{an}是等比数列,a2=2,a5=1/4,则a1*a2+a3*a4+……+a(n+1)*an
▼优质解答
答案和解析
由 a2=a1*q=2 ,a5=a1*q^4=1/4 得 q=1/2 ,a1=4 ,
因此 an=a1*q^(n-1)=4*(1/2)^(n-1) ,
所以,an*a(n+1)=4*(1/2)^(n-1)*4*(1/2)^n=16*(1/2)^(2n-1)=8*(1/4)^(n-1) ,
因此｛an*a(n+1)｝是首项为 8 ,公比为 1/4 的等比数列,
则 a1*a2+a2*a3+.+an*a(n+1)
=8*[1-(1/4)^n]/(1-1/4)
=32/3*[1-(1/4)^n] .
因此 an=a1*q^(n-1)=4*(1/2)^(n-1) ,
所以,an*a(n+1)=4*(1/2)^(n-1)*4*(1/2)^n=16*(1/2)^(2n-1)=8*(1/4)^(n-1) ,
因此｛an*a(n+1)｝是首项为 8 ,公比为 1/4 的等比数列,
则 a1*a2+a2*a3+.+an*a(n+1)
=8*[1-(1/4)^n]/(1-1/4)
=32/3*[1-(1/4)^n] .
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