已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2=2，a3a4=32．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（2n-1）an（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₂=2，a₃a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n-1）a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q>0，
∵a₁a₂=2，a₃a₄=32，∴q⁴=16，解得q=2，a₁=1．
∴an=2n-1．
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）×2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ=(2(2n-1))/(2-1)-1-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴Tn=(2n-3)×2n+3．