已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=an+1SnSn+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=(an+1)/(SnSn+1)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
∴a₁+a₄=9，a₁a₄=a₂a₃=8．
解得a₁=1，a₄=8或a₁=8，a₄=1（舍），
解得q=2，即数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（2）S_n=(a1(1-qn))/(1-q)=2ⁿ-1，
∴b_n=(an+1)/(SnSn+1)=(Sn+1-Sn)/(SnSn+1)=(1)/(Sn)-(1)/(Sn+1)，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1)/(S1)-(1)/(S2)+(1)/(S2)-(1)/(S3)+…+(1)/(Sn)-(1)/(Sn+1)=(1)/(S1)-(1)/(Sn+1)=1-(1)/(2n+1-1)．