若t为实数，关于x的方程x2-4x+t-2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2-1）（b2-1）的最小值是（）A.-15B.-16C.15D.16

Question

若t为实数，关于x的方程x²-4x+t-2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a²-1）（b²-1）的最小值是（　　）

A. -15

B. -16

C. 15

D. 16

Answer 1

∵a，b是关于x的一元二次方程x²-4x+t-2=0的两个非负实根，
∴可得a+b=4，ab=t-2≥0，△=16-4（t-2）≥0．
解

t-2≥0

16-4(t-2)≥0

得：2≤t≤6
（a²-1）（b²-1）=（ab）²-（a²+b²）+1=（ab）²-（a+b）²+2ab+1，
∴（a²-1）（b²-1），
=（t-2）²-16+2（t-2）+1，
=（t-1）²-16，
∵2≤t≤6，
∴当t=2时，（t-1）²取最小值，最小值为1，
∴代数式（a²-1）（b²-1）的最小值是1-16=-15，
故选：A．