如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥P-A1B1C1D1中，P∈平面DCC1D1，PC1=PD1=52．（1）求证：平面PA1B1∥平面ABC1D1；（2）求直线PA1与直线BC所成角的余弦值．

Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，四棱锥P-A₁B₁C₁D₁中，P∈平面DCC₁D₁，PC₁=PD₁=(√(5))/(2)．
（1）求证：平面PA₁B₁∥平面ABC₁D₁；
（2）求直线PA₁与直线BC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）因为P∈平面DCC₁D₁，PC₁=PD₁=(√(5))/(2)．
所以三角形PC₁D₁是等腰三角形，所以PE=√(((√(5))/(2))2−((1)/(2))2)＝1，
取C₁D₁的中点E，连结PE并延长交CD于F，
取AB的中点H，A₁B₁的中点G，连结PG，GH，HE，
则PE∥GH．且PE=GH=1，所以四边形PGHE为平行四边形，
所以GP∥HE，
又因为A₁B₁∥AB，且A₁B₁∩GP=G，
所以平面PA₁B₁∥平面ABC₁D₁．
（2）因为在正方体中，A₁D₁∥BC，
所以A₁D₁与PA₁所成的角即为直线PA₁与直线BC所成角．
在直角三角形PA₁D₁中，PD₁=(√(5))/(2)，A₁D₁=1，所以PA₁=√(((√(5))/(2))2+12)＝

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