等比数列首项为a1(a1大于0),且满足a1大于3(a2+a3+...+an+...),求公比q取值

Question

等比数列首项为a1(a1大于0),且满足a1大于3(a2+a3+...+an+...),求公比q
取值

Answer 1

题目等价于：a1＞3（Sn-a1）
∴4a1＞3Sn
a1＞3/4Sn恒成立
又因为公比为q
∴Sn=a1*（1-q^n)/(1-q)
∴a1＞3/4*a1*（1-q^n)/(1-q)
∴（1-q^n)/(1-q)＜4/3
显然-1＜q＜1且q≠0
∴1-q^n＜4/3*（1-q）
又有下列结论1-q^n=（1-q）*(1+q+q^2+q^3+.+q^(n-1))
则（1+q+q^2+q^3+.+q^(n-1))＜4/3恒成立
则q+q^2+q^3+.+q^(n-1）＜1/3恒成立
∴q＜1/3
综上,q的取值为：（-1,0）∪（0,1/3）