设数列{an}对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+…+an）（其中k、b、p是常数）．（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，求a1+a2+…+an；（Ⅱ）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{an}的通项公式；（Ⅲ

Question

设数列{a_n}对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂+…+a_n）（其中k、b、p是常数）．
（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，求a₁+a₂+…+a_n；
（Ⅱ）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）当k=1，b=0，p=0时，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，且a₂-a₁=2．S_n是数列{a_n}的前n项和，满足(1)/(6)＜(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)＜(11)/(18)，求数列{a_n}首项a₁的值．

Answer 1

（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，
3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂+…+a_n），①
用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）-4=2（a₁+a₂+…+a_n+1），②
②-①得，3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，
在①中令n=1得，a₁=1，则a_n≠0，∴(an+1)/(an)=3，
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴a₁+a₂+…+a_n=(1−3n)/(1−3)=(3n−1)/(2)．
（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂+…+a_n），③
用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1），④
④-③得，（n-1）a_n+1-na_n+a₁=0，⑤．
用n+1去代n得，na_n+2-（n+1）a_n+1+a₁=0，⑥
⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，．
∴数列{a_n}是等差数列．∵a₃=3，a₉=15，
∴公差d=(15−3)/(9−3)＝2，∴a_n=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知数列{a_n}是等差数列，
∵a₂-a₁=2，∴a_n=a₁+2（n-1）．
又对任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*，
使a₁+2（n-1）+a₁+2（m-1）=a₁+2（p-1），
得a₁=2，故a₁是偶数，10分
又由已知，(1)/(6)＜(1)/(S1)＜(11)/(18)，故(18)/(11)＜a1＜6．
一方面，当(18)/(11)＜a1＜6时，S_n=n（n+a₁-1）＞0，对任意n∈N^*，
都有(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)＞(1)/(S1)＞(1)/(6)．
另一方面，当a₁=2时，S_n=n（n+1），(1)/(Sn)＝(1)/(n)−(1)/(n+1)，
则(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)=1-

作业帮用户 2017-10-23