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已知a1=2,a(n+1)=an+2根号an+1求an的通项公式
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已知a1=2,a(n+1)=an+2根号an+1求an的通项公式
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答案和解析
a(n+1)=an+2√an+1=(√an + 1)²≥0
∴a(n+1)-(√an + 1)²=0
即：[√a(n+1)-(√an + 1)]×[√a(n+1)+(√an + 1)]=0
∵√a(n+1)+(√an + 1)＞0
∴√a(n+1)-(√an + 1)]=0
即：√a(n+1)-√an =1
∴数列{√an}是以√a1=√2为首项,d=1为公差的等差数列
∴√an=√2+n-1
∴an=(n+√2-1)²
∴a(n+1)-(√an + 1)²=0
即：[√a(n+1)-(√an + 1)]×[√a(n+1)+(√an + 1)]=0
∵√a(n+1)+(√an + 1)＞0
∴√a(n+1)-(√an + 1)]=0
即：√a(n+1)-√an =1
∴数列{√an}是以√a1=√2为首项,d=1为公差的等差数列
∴√an=√2+n-1
∴an=(n+√2-1)²
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