a1=2,an+1=根号（2-根号（4-an^2))求an的通项公式.

Question

a1=2,an+1=根号（2-根号（4-an^2)) 求an的通项公式.

Answer 1

显然,通项不能用常规方法解出,于是我们寻找相近的结构去模拟.我们发现,里层的根号下是4-an^2,可以联想到正余弦的平方关系公式,不妨用三角函数来模拟.
里层根号：设an=2sin(x),于是an^2=4*[sin(x)]^2,这样正好能提取公因式4.进行化简,根号下{4*[1-(sinx)^2]} = 2cos(x).搞定了内层根号,接着处理外层根号.
外层根号：我们发现,外层根号下是2-2cosx,是一次幂的式子,不可以开到根号外面,自然要升幂.运用升幂降角公式cosx=1-2*[sin(x/2)]^2,代回原式中,化简得到4*[sin(x/2)]^2,再开根号,得a(n+1)=2sin(x/2)
比较一下,an=2sin(x),a(n+1)=2sin(x/2),结构相同,后一项的角是前一项的角的一半.成功了!
再用a1求出初始角即可,剩下的工作相信您能完成,我不再赘述.
顺便提一下,为什么不设an=2cos(x)?这是考虑到外层根号中要升幂,倘若设an=2cos(x),那么在外层根号就要对sin(x)进行升幂,而sin(x)=[sin(x/2)+cos(x/2)]^2-1,会出现两种函数,an和a(n+1)结构不同,这不是我们所希望的.
希望我的解答能帮到您!