已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an+2n-1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，且a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+2^n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）∵等差数列{a_n}的公差为2，
∴a₂=a₁+2，a₄=a₁+6，
∵a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列，
∴(a1+a2)2=2a₁•（a₁+a₄），即(2a1+2)2=2a₁（2a₁+6），解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=(n(1+2n-1))/(2)+(2n-1)/(2-1)=n²+2ⁿ-1．