已知数列{an}中，a1=1，an•an+1=（12）n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn=a2n+a2n-1，n∈N*．（Ⅰ）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；（Ⅱ）求T2n．

Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n+1=（(1)/(2)）ⁿ，记T_2n为{a_n}的前2n项的和，b_n=a_2n+a_2n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并求出b_n；
（Ⅱ）求T_2n．

Answer 1

（Ⅰ）∵an•an+1=((1)/(2))n，∴an+1•an+2=((1)/(2))n+1，
∴(an+2)/(an)=(1)/(2)，即an+2=(1)/(2)an…（2分）
∵b_n=a_2n+a_2n-1，∴(bn+1)/(bn)=(a2n+2+a2n+1)/(a2n+a2n-1)=((1)/(2)a2n+(1)/(2)a2n-1)/(a2n+a2n-1)=(1)/(2)
所以{b_n}是公比为(1)/(2)的等比数列．…（5分）
∵a₁=1，a1•a2=(1)/(2)，∴a2=(1)/(2)⇒b1=a1+a2=(3)/(2)∴bn=(3)/(2)×((1)/(2))n-1=(3)/(2n)…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an+2=(1)/(2)an，所以a₁，a₃，a₅，…是以a₁=1为首项，以(1)/(2)为公比的等比数列；
a₂，a₄，a₆，…是以a2=(1)/(2)为首项，以(1)/(2)为公比的等比数列  …（10分）
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=(1-((1)/(2))n)/(1-(1)/(2))+((1)/(2)[1-((1)/(2))n])/(1-(1)/(2))=3-(3)/(2n)…（12分）