an={(n+2)/n(n+1)}/2的(n-2)次方,求an的前n项和求2×4×6×…×2n/1×3×5×…×（2n-1）第二题是求证那个数＞根号下（2n+1）另外再加一题，a(n+1)=3an-3an²，a1=1/2,求证：2/3＜a2n≤3/4，数列{a2n}单调递减

Question

an={(n+2)/n(n+1)}/2的(n-2)次方,求an的前n项和
求2×4×6×…×2n/1×3×5×…×（2n-1）
第二题是求证那个数＞根号下（2n+1）
另外再加一题，
a(n+1)=3an-3an²，a1=1/2,求证：2/3＜a2n≤3/4，数列{a2n}单调递减

Answer 1

1
an=[(n+2)/(n(n+1))]/2^(n-2)
(n+2)/(n(n+1))=(n+2)/n-(n+2)/(n+1)=2/n-1/(n+1)
an=bn+cn 其中 bn=(2/n)/2^(n-2)=(1/n)/2^(n-3) cn= -[1/(n+1)]/2^(n-2)
bn-1=(1/(n-1))/2^(n-4) cn-1=(-1/n)/2^(n-3)
bn-2=(1/(n-2))/2^(n-5) cn-2=(-1/(n-1))/2^(n-4)
...
b3=(1/3)/2^0 c3=(-1/4)/2
b2=(1/2)/2^(-1) c2=(-1/3)/2^0
b1=1/2^(-2) c1=(-1/2)/2^(-1)
观察发现bn+cn-1=0
Sn=cn+b1=1/2^(-2)+((-1)/(n+1))/2^(n-2)
2
2×4×6×..×2n/[1×3×5×..×(2n-1)]
=(2×4×6×..×2n)^2/[1×2×3×..×(2n-1)×2n]
=4*(n!)^2 / (2n)!