已知数列{an}满足：a1=1,a2=1/2,且[3+(-1)^n]an+2-2an+2[(-1)^n-1]=0,n属于整数描述:（1）求a3,a4,a5,a6的值及数列｛an}的通项公式.（2）设bn=a2n-1*a2n,求数列{bn}的前n项和Sn

Question

已知数列{ an}满足：a1=1,a2=1/2,且[3+(-1)^n]an+2-2an+2[(-1)^n-1]=0,n属于整数
描述:（1）求a3,a4,a5,a6的值及数列｛an}的通项公式.（2）设bn=a2n-1*a2n,求数列{bn}的前n项和Sn

Answer 1

（1）令n=1,则a3=3；令n分别为2,3,4,得a4=1/4,a5=5,a6=1/8
当n为奇数时,[3+(-1)^n]a(n+2)-2an+2[(-1)^n-1]=2a(n+2)-2an-4=0
即a(n+2)-an=2
又a1=1,故得an=n
当n为偶数时,得4a(n+2)-2an=0,即a(n+2)=1/2an,又a2=1/2,故得an=（1/2）^(n/2)
｛an}的通项公式为：当n为奇数时 ,an=n ； 当n为偶数时,an=（1/2）^(n/2)
（2）bn=（2n-1）*（1/2）^n=（2n-1)/(2^n)
Sn=b1+b2+b3+……+bn=1/2+3/4+5/8+……+（2n-1)/(2^n) ①
用 1/2乘①得 (1/2)*Sn= 1/4+3/8+5/16+……+(1/2)*(2n-1)/(2^n) ②
①-②得 (1/2)*Sn= 1/2+1/2+1/4+ 1/8+ ……+1/ (2^n)-(1/2)/(2^n)
化简 (1/2)*Sn=1/2+1- 1/ (2^n)-(1/2)/(2^n)
得Sn=3*[1-1/(2^n)]