已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一

Question

已知，m，n是一元二次方程x²+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为√(2)个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

解（1）∵x²+4x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=-3，
∵m，n是一元二次方程x²+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，
∴m=-1，n=-3，
∵抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴

1-b+c=0

c=-3

，
∴

b=-2

c=-3

，
∴抛物线解析式为y=x²-_²x-3，
（2）令y=0，则x²-_²x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴C（3，0），
∵y=x²-_²x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标D（1，-4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB=OC=3，
∴BE=DE=1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠DBE=45°，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，

∵B（0，-3），C（3，0），
∴直线BC解析式为y=x-3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t，
∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P（t，t-3），M（t，t²-2t-3），
过点Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ=√(2)，
∴QF=1，
当点P在点M上方时，即0<t<3时，
PM=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t，
∴S=(1)/(2)PM×QF=(1)/(2)（-t²-3t）=-(1)/(2)t²+(3)/(2)t，
如图3，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，
PM=t²-2t-3-（t-3），
∴S=(1)/(2)PM×QF=(1)/(2)（t²-3t）=(1)/(2)t²-(3)/(2)t