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在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量m=(5a-4c,4b)与向量n=(cosC,cosB)共线(Ⅰ)求cosB;(Ⅱ)若b=10,c=5,a<c,且AD=2DC,求BD的长度.
题目详情
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量
=(5a-4c,4b)与向量
=(cosC,cosB)共线
(Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)若b=
,c=5,a<c,且
=2
,求BD的长度.
m |
n |
(Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)若b=
10 |
AD |
DC |
▼优质解答
答案和解析
(I)∵
,
共线,
∴(5a-4c)cosB-4bcosC=0.即5sinAcosB=4sinCcosB+4sinBcosC=4sin(B+C)=4sinA.
∵sinA≠0,
∴cosB=
.
(II)在△ABC中,由余弦定理得cosB=
=
.
即
=
,解得a=3或a=5(舍).
∴cosA=
=
.
∵
=2
,∴AD=
b=
.
在△ABD中,由余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA=
.
∴BD=
.
m |
n |

∴(5a-4c)cosB-4bcosC=0.即5sinAcosB=4sinCcosB+4sinBcosC=4sin(B+C)=4sinA.
∵sinA≠0,
∴cosB=
4 |
5 |
(II)在△ABC中,由余弦定理得cosB=
a2+c2-b2 |
2ac |
4 |
5 |
即
a2+15 |
10a |
4 |
5 |
∴cosA=
b2+c2-a2 |
2bc |
13
| ||
50 |
∵
AD |
DC |
2 |
3 |
2
| ||
3 |
在△ABD中,由余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA=
109 |
9 |
∴BD=
| ||
3 |
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