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在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量m=(5a-4c,4b)与向量n=(cosC,cosB)共线(Ⅰ)求cosB;(Ⅱ)若b=10,c=5,a<c,且AD=2DC,求BD的长度.

题目详情
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量
m
=(5a-4c,4b)与向量
n
=(cosC,cosB)共线
(Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)若b=
10
,c=5,a<c,且
AD
=2
DC
,求BD的长度.
▼优质解答
答案和解析
(I)∵
m
n
共线,作业搜
∴(5a-4c)cosB-4bcosC=0.即5sinAcosB=4sinCcosB+4sinBcosC=4sin(B+C)=4sinA.
∵sinA≠0,
∴cosB=
4
5

(II)在△ABC中,由余弦定理得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
4
5

a2+15
10a
=
4
5
,解得a=3或a=5(舍).
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
13
10
50

AD
=2
DC
,∴AD=
2
3
b=
2
10
3

在△ABD中,由余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA=
109
9

∴BD=
109
3
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