在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量m=（5a-4c，4b）与向量n=（cosC，cosB）共线（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若b=10，c=5，a<c，且AD=2DC，求BD的长度．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量

m

=（5a-4c，4b）与向量

n

=（cosC，cosB）共线
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若b=√(10)，c=5，a<c，且

AD

=2

DC

，求BD的长度．

Answer 1

（I）∵

m

，

n

共线，
∴（5a-4c）cosB-4bcosC=0．即5sinAcosB=4sinCcosB+4sinBcosC=4sin（B+C）=4sinA．
∵sinA≠0，
∴cosB=(4)/(5)．
（II）在△ABC中，由余弦定理得cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(4)/(5)．
即(a2+15)/(10a)=(4)/(5)，解得a=3或a=5（舍）．
∴cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(13√(10))/(50)．
∵

AD

=2

DC

，∴AD=(2)/(3)b=(2√(10))/(3)．
在△ABD中，由余弦定理BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA=(109)/(9)．
∴BD=(√(109))/(3)．