如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E、F都在⊙O上，求证：（1）CF=DE；（2）AF＝EF＝BE；（3）AE=2CF．

Question

如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E、F都在⊙O上，求证：
（1）CF=DE； 
（2）

AF

＝

EF

＝

BE

；
（3）AE=2CF．

Answer 1

证明：（1）连结OF、OE，如图，
∵AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，
∴OC=OD，
而OF=OE，
∴Rt△OCF≌Rt△ODE，
∴CF=DE；

（2）在Rt△OCF中，OC=(1)/(2)OF，
∴∠CFO=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠BOE=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD，
∴

AF

＝

EF

＝

BE

；

（3）∵OE=OA，
∴∠A=∠OEA，
∵∠DOE=∠A+∠OEA=60°，
∴∠A=30°，
∴AE=2DE，
∴AE=2CF．