如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．（1）求证：AH⊥EF；（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为cl、c2、c3．试证明：c1+c2c3≤98，并指出等号

Question

如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为c_l、c₂、c₃．试证明：(c1+c2)/(c3)≤(9)/(8)，并指出等号成立时(AF)/(BF)的值．

Answer 1

证明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠EBD，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；

（2）设BF=x，(AF)/(BF)=k，则AF=kx，BA=√(BF2-AF2)=x√(1-k2)，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴(HF)/(AF)=(DE)/(BE)=(AF)/(BF)=k，(AH)/(AF)=(BD)/(BE)=(BA)/(BF)=√(1-k2)，
而BE=BF-2HF=x-2k•AF=x-2k²x=（1-2k²）x，
∴c1=AF+HF+AH=k(1+k+√(1-k2))x，c2=BE+BD+DE=(1+√(1-k2)+k)(1-2k2)x，c3=AF+BA+BF=(k+√(1-k2)+1)x，
∴(c1+c2)/(c3)=-2k2+k+1=-2(k-(1)/(4))2+(9)/(8)≤(9)/(8)，
故当k=

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