如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）求四边形ADFE的周长．

Question

如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）求四边形ADFE的周长．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，

AF=BC

AE=AB

，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；

（2） ∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=AE=2，
∵AF=BF=(1)/(2)AB=1，
则EF=AD=√(3)，
故四边形ADFE的周长为：2+2+2√(3)=4+2√(3)．