如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．（1）求证：PA⊥PC；（2）当E、M在AB、CD上运动时，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4-∠1-∠2不变，选择正确给予证明

Question

如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．
（1）求证：PA⊥PC；
（2）当E、M在AB、CD上运动时，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4-∠1-∠2不变，选择正确给予证明．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=90°，
∵PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，
∴∠PAC=(1)/(2)∠BAC，∠PCA=(1)/(2)∠DCA，
∴∠PAC+∠PCA=(1)/(2)（∠BAC+∠DCA）=90°，
∴∠APC=90°，
∴PA⊥PC；
（2）②∠3+∠4-∠1-∠2不变正确．理由如下：作PQ∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4=180°，即∠APQ=180°-∠3-∠4，
由PQ∥CD得∠5=∠2，
∵∠APQ+∠5+∠1=90°，
∴180°-∠3-∠4+∠2+∠1=90°，
∴∠3+∠4-∠1-∠2=90°．