在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,tan平方A+tan平方B=三分之十,∠A大于∠B,P在AB上移动,连接PC.1.求∠A度数2.设AP=x,CP²=y,求解析式及X的取值范围

Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,tan平方A+tan平方B=三分之十,∠A大于∠B,P在AB上移动,连接PC.
1.求∠A度数 2.设AP=x,CP² =y,求解析式及X的取值范围

Answer 1

（1）在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,设BC=x．
则tanA=x/2,tanB=x/2．
∵tan2A+tan2B=10/3,
∴x²/4+4/x²=10/3,
去分母,得3x的四次方-40x²+48=0,
∴（x2-12）（3x2-4）=0,
∵x＞0,
∴x=2根号3或 2根号3/3 ．
经检验,x=2根号3或 2根号3/3都是原方程的根．
又∵∠A＞∠B,
∴BC＞AC,
即x＞2,
∴x=2根号3．
∴tanA=x/2=根号3,
∴∠A=60°；
（2）过点C作CD⊥AB于D,则AD=1,CD=根号3．
P点的位置分两种情况：
①当点P在线段AD上时,0≤x≤1．
在直角△CDP中,∠CDP=90°,CD=根号3,DP=AD-AP=1-x,
由勾股定理,得CP²=CD²+DP²,
∴y=3+（1-x）²,
∴y=x²-2x+4；
②当点P在线段DB上时,1≤x≤4．
在直角△CDP中,∠CDP=90°,CD=根号3,DP=AP-AD=x-1,
由勾股定理,得CP²=CD²+DP²,
∴y=3+（x-1）²,
∴y=x²-2x+4；
综上,可知y=x²-2x+4（0≤x≤4）．