如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=2，SA=SC=SD=2．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求三棱锥B-SAD的体积．

Question

如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=√(2)，SA=SC=SD=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求三棱锥B-SAD的体积．

Answer 1

证明：（1）取AC中点O，连结OD，SO，
∵SA=SC，∴SO⊥AC，
∵AD=CD，∴OD⊥AC，
又∵OS⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，OS∩OD=O，
∴AC⊥平面SOD，∵SD⊂平面SOD，
∴AC⊥SD．
（2）∵SA=SC=2，∠ASC=60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC=2，OS=√(3)，
∵AD=CD=√(2)，∴AD²+CD²=AC²，∴∠ADC=90°，OD=(1)/(2)AC=1．
∵SD=2，∴SO²+OD²=SD²，∴SO⊥OD，
又∵SO⊥AC，AC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，AC∩OD=O，
∴SO⊥平面ABCD，
∴V_棱锥B-SAD=V_棱锥S-ABD=(1)/(3)S_△ABD•SO=(1)/(3)×(1)/(2)×AD×CD×SO=(√(3))/(3)．