如图，在三棱台ABC-DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D-AC-B的大小为2π3．（Ⅰ）证明：AC⊥BN；（Ⅱ）求直线AD与平面BEFC所成角的正弦值．

Question

如图，在三棱台ABC-DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D-AC-B的大小为(2π)/(3)．

（Ⅰ）证明：AC⊥BN；
（Ⅱ）求直线AD与平面BEFC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AC中点M，连接NM，BM，则AC⊥NM，AC⊥BM，BM∩NM=M，
∴AC⊥平面NBM，
∵BN⊂平面NBM，
∴AC⊥BN；
（Ⅱ） 化台为锥，则△PAC是等边三角形，连接AE，EC，则∠PMB为二面角D-AC-B的平面角，即∠PMB=(2π)/(3)．
∵AB=AP=BC=CP=2，E为PB的中点，
∴PB⊥平面AEC，平面AEC⊥平面PBC．
过A作AH⊥EC于点H，连接HP，则AH⊥平面PBC．
∴∠APH为直线AD与平面BEFC所成角，
∵AE=CE=(√(7))/(2)，∴AH=(2√(21))/(7)，
∴sin∠APH=(AH)/(AP)=(√(21))/(7)．