求证.（aA+bB+cC）/（a+b+c）小于等于二分之派

Question

求证.（aA+bB+cC）/（a+b+c）小于等于二分之派

Answer 1

证明：（aA+bB+cC）/（a+b+c）-π/2=（2aA+2bB+2cC-aπ-bπ-cπ）/2(a+b+c）=【a（2A-π）+b（2B-π）+c（2C-π）】/2(a+b+c）①当△ABC为锐角三角形时：2A-π＜0,2B-π＜0,2B-π＜0故：（aA+bB+cC）/（a+b+c）-π/2＜0即：（aA+bB+cC）/（a+b+c）＜π/2②当三角形为直角三角形时：设A=90°,则2A-π=0,2B-π＜0,2C-π＜0故：（aA+bB+cC）/（a+b+c）-π/2＜0即：：（aA+bB+cC）/（a+b+c）＜π/2③当三角形为钝角时：设A＞90°故2A-π＞0,2B-π＜0,2C-π＜0故存在【a（2A-π）+b（2B-π）+c（2C-π）】=0∴【a（2A-π）+b（2B-π）+c（2C-π）】/2（a+b+c）=0但是：2A-π+2B-π+2C-π=2（A+B+C)-3π=2π-3π=-π＜0故：（aA+bB+cC）/（a+b+c）-π/2＜0综上所述：（aA+bB+cC）/（a+b+c）≤π/2 不懂欢迎追问!