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若x满足x^2+x-1=0,求x^14+1/x^14的值
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若x满足x^2+x-1=0,求x^14+1/x^14的值
▼优质解答
答案和解析
x^2+x-1=0
x^2-1=x
两边除以x
x-1/x=1
两边平方
x^2-2+1/x^2=1
x^2+1/x^2=3
两边平方
x^4+2+1/x^4=9
x^4+1/x^4=7
(x+1/x)^2=(x-1/x)^2+4=5
x+1/x=±√5
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)=±√5*(3-1)=±2√5
x^7+1/x^7=(x^4+1/x^4)(x^3+1/x^3)-(x+1/x)=7*2√5-√5或7*(-2√5)-(-√5)
=13√5或-13√5
两边平方
x^14+2+1/x^14=169*5
x^14+1/x^4=843
x^2-1=x
两边除以x
x-1/x=1
两边平方
x^2-2+1/x^2=1
x^2+1/x^2=3
两边平方
x^4+2+1/x^4=9
x^4+1/x^4=7
(x+1/x)^2=(x-1/x)^2+4=5
x+1/x=±√5
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)=±√5*(3-1)=±2√5
x^7+1/x^7=(x^4+1/x^4)(x^3+1/x^3)-(x+1/x)=7*2√5-√5或7*(-2√5)-(-√5)
=13√5或-13√5
两边平方
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