已知曲线C:x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0,证明当m不等于2时,曲线c表示一个圆,且圆心在一条直线上

Question

已知曲线C:x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0,证明当m不等于2时,曲线c表示一个圆,且圆心在一条直线上

Answer 1

证明：
原曲线整理得：(x-2m)²+(y+2m)²=5m²-20m+20
令曲线y=5m²-20m+20,
a=5＞0,y图像开口向上；
令y=0,则m=2,即：y与x轴只有一个交点(2,0).
所以：当m≠2时,5m²-20m+20＞0,此时(x-2m)²+(y+2m)²=5m²-20m+20是圆的方程.
设圆心坐标(x,y),则x=2m,y=-2m.即x+y=2m-2m=0,所以：圆心在x+y=0的直线上.