高等几何：求使直线X=0,Y=0,X+2Y-1=0分别对应着直线x'+Y'=0,x'-Y‘=0,x'+2Y’-1=0的仿射变换?

Question

高等几何：求使直线X=0,Y=0,X+2Y-1=0分别对应着直线x'+Y'=0,x'-Y‘=0,x'+2Y’-1=0的仿射变换?

Answer 1

三条直线围成的直角三角形三个顶点A(1,0),B(0,1/2),C(0,0),设点(x,y)到AB,BC,AC的距离分别是d1,d2,d3,有:
|AB|*d1+|BC|*d2+|AC|*d3=2S(ABC)
而(|AB|*d1+|BC|*d2+AC*d3)^2<=(d1^2+d2^2+d3^2)(|AB|^2+|BC|^2+|AC|^2)
所以d1^2+d2^2+d3^2>=4S^(ABC)/(|AB|^2+|BC|^2+|AC|^2)=3/2
等号成立当且仅当|AB|/d1=|BC|/d2=|AC|/d3
就是1/|x+2y-16|=1/2/|x|=0/|y|
x=8/5,y=16/5
所以(8/5,16/5)到三直线的距离平方和最小值是3/2