一张正方形纸的内部被针扎了2010个孔，这些孔和正方形的顶点之中的任何3点都不共线．作若干条互不相交的线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，这些线段将正方形分割成一些三

Question

一张正方形纸的内部被针扎了2010个孔，这些孔和正方形的顶点之中的任何3点都不共线．作若干条互不相交的线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，这些线段将正方形分割成一些三角形，并且在这些三角形的内部和边上都不再有小孔．请问一共作了多少条线段？共得到了多少个三角形？

Answer 1

把2010个小孔和正方形的4个顶点所组成的集合称之为M，显然，M中的点都是一些三角形的公共顶点，
下面我们从两个方面来计算所有三角形的内角和，
①设共分成了n个三角形，于是它们的内角和为n•180°，
②另一方面，这些三角形的内角的顶点都是M中的点，也即它们的内角都是由M中的点提供的，正方形的每个顶点都提供90°的角，每个孔点则提供360°的角，
所以得到的n个三角形的内角和又应为：4×90°+2010×360°=2011×360°，
综合两个方面可得n•180°=2011×360°，则n=4022，即有4022个三角形．
这4022个三角形共有4022×3条边，
其中有4条边是原正方形的4条边，不用另行作出，其他各边都是作出的线段，每条线段恰为两个三角形的公共边，故作出的线段总数为（4022×3-4）÷2=6031．
综上所述可得一共作了6031条线段，共得到4022个三角形．