已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．

Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
当x＞0时，f（x）=x²-2x
所以：f(x)＝

x2+2x，x≤0

x2−2x，x＞0

（2）①当a+1≤1时，即a≤0，g（x）_min=g（1）=1-2a
②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1g(x)min＝g(a+1)＝−a2−2a+1
③当a+1≥2时，即a≥1g（x）_min=g（2）=2-2a
综上：h(a)＝

1−2a，a≤0

−a2−2a+1，0＜a＜1

2−4a，a≥1

．
故答案为：（1）f(x)＝

x2+2x，x≤0

x2−2x，x＞0

（2）h(a)＝

1−2a，a≤0

−a2−2a+1，0＜a＜1

2−4a，a≥1