（2012•大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ

Question

（2012•大连模拟）如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（Ⅰ）证明：OE∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求异面直线AB₁与A₁C所成的角；
（Ⅲ）求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，
∴OE∥AC₁，又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，
∴OE∥平面AB₁C₁．（4分）
（Ⅱ）∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁．（6分）
又∵AA₁=AC，∴四边形A₁C₁CA为菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C，即异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°．（8分）
（Ⅲ） 设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，∵VA−A1B1C1＝VC1−AA1B1，
即(1)/(3)•(1)/(2)•A1C1•B1C1•AO＝(1)/(3)•S△AA1B1•d．（10分）
又∵在△AA₁B₁中，A1B1＝AB1＝2√(2)，∴S_△AA₁B₁=√(7)．
∴d＝(2√(21))/(7)，∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值(√(21))/(7)．（12分）
解法二：如图建系O-xyz，A(0，0，√(3))，A1(0，−1，0)，E(0，−(1)/(2)，(√(3))/(2))，C₁（0，1，0），B₁（2，1，0），C(0，2，√(3))．（2分）
（Ⅰ）∵

OE

=(0，−(1)/(2)，(√(3))/(2))，

AC1

＝(0，1，−√(3))，∴

OE

＝−(1)/(2)

AC1

，即OE∥AC₁，
又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，∴OE∥平面AB₁C₁．（6分）
（Ⅱ）∵

AB1

＝(2，1，−√(3))，

A1C

＝(0，3，√(3))，∴

AB1

•

A1C

＝0，即∴AB₁⊥A₁C，
∴异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°．（8分）
（Ⅲ）设A₁C₁与平面AA₁B₁所成角为θ，∵

A1C1

＝(0，2，0)，

A1B1

＝(2，2，0)，

A1A

＝(0，1，√(3))
设平面AA₁B₁的一个法向量是

n

＝(x，y，z)
则

A1B1

•

n

＝0

A1A

•

n

＝0

即

2x+2y＝0

y+√(3)z＝0.

不妨令x=1，可得

n

＝(1，−1，(√(3))/(3))，（10分）
∴sinθ＝cos＜

A1C1

，

n

＞＝(2)/(2•√((7)/(3)))＝(√(21))/(7)，
∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值(√(21))/(7)．（12分）