求曲线y=x2-2x，y=0，x=1，x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

Question

求曲线 y=x²-2x，y=0，x=1，x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

Answer 1

本题所求平面图形如下图：

则平面图形的面积
S＝

∫

2 1

(0−y)dx+

∫

3 2

(y−0)dx=

∫

2 1

(2x−x2)dx+

∫

3 2

(x2−2x)dx=[x2−(1)/(3)x3

]

2 1

+[(1)/(3)x3−x2

]

3 2

=[(4−(8)/(3))−(1−(1)/(3))]+[(9−9)−((8)/(3)−4)]
=2
该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
V＝

∫

2 1

2πx(2x−x2)dx+

∫

3 2

2πx(x2−2x)dx
=2π

∫

2 1

(2x2−x3)dx+2π

∫

3 2

(x3−2x2)dx
=2π[(2)/(3)x3−(1)/(4)x4

]

2 1

+2π[(1)/(4)x4−(2)/(3)x3

]

3 2

=2π[((16)/(3)−4)−((2)/(3)−(1)/(4))]+2π[((81)/(4)−18)−(4−(16)/(3))]
=9π．